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梯度垂直于等值面

呵呵, 今天遇到了. 求解 我又想了一哈 ,我觉得是这样的, 方向导数L代表其变化率 , 方向导数为零表示无变化,即L方向为等值面方向,这时的梯度和L垂直,所以就和等值面垂直了.

梯度说白了,就是场值的变化率,如果其不垂直于等值面,就会在等值面方向产生分量,即表示等值面上也是有场值变化的,与等值面定义矛盾.所以,梯度必须垂直于等值面

简单来说,梯度方向是函数增长最快的方向,很显然增长最快的方向是过该点的等量面的法线方向,所以,函数在一点的梯度方向是这点的法线方向

所谓某点梯度的大小是指那一点的方向导数的最大值;任意个方向的方向导数可以表示为: Df/Dl=(Df/Dn)cosα+(Df/Dt)sinα;其中,Df/Dn为等值面垂线上的方向导数,Df/Dt为等值面切线上的方向导数(易知由于沿切线f不变,Df/Dt=0),α为n和l的夹角;则:Df/Dl=(Df/Dn)cosα;所以当α=0时Df/Dl最大,为Df/Dn,即函数梯度大小=Df/Dn.

我国传统的清明节大约始于周代,已有二千五百多年的历史.清明最开始是一个很重要的节气,清明一到,气温升高,正是春耕春种的大好时节,故有“清明前后,种瓜种豆”.“植树造林,莫过清明”的农谚.后来,由于清明与寒食的日子接

等值面是三维图形中值相等的点构成的,比如函数 f(x,y,z)=x+y+z,它的等值面就是半径不同的一系列球面;类似的,物理中的电学的等势面也是一种等值面;相应地,在二维平面中有也等值线的概念.

等值面是满足标量场为某个值时所有的点构成的面的,它和切平面是不同的概念.在该点的梯度方向就是在过该点的等值面的切平面法向量方向.

应该是曲面上的一点.首先要了解梯度和切平面的概念.对一个二元函数来说z=f(x,y)确定了一个曲面.而它的梯度为gradf(x,y)=бf/бx*i+бf/бy*j而在曲面z=f(x,y)上任意一点的法向量为{бf/бx,бf/бy,-1}显然梯度是在二维平面内的方向导数,而曲面的法向量是在三维空间里面的方向.梯度的方向是与过曲面上点P(x0,y0,z0)的等高线f(x,y)=z0在点P的法线的一个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线.所以梯度的方向应该是垂直于等高面,而不是曲面的切平面.也就是说,梯度的方向与切平面的法向量在xoy平面上的投影的方向平行.

第一题没猜错的话应该是垂直于直线x-y+z=7,3x+2y-12z+5=0的平面方程首先方程1的法向量是a=(1,-1,1),方程2是b=(3,2,-12).所以直线的方向向量是|a|*|b|这里的*叉乘的意思,然后得出了方向向量(x1,y1,z1).就得到直线方程是(x-1)/x1=(y-1)/y1=(z-1)/z1.过程大概就这样,楼主自己演算记忆深刻点,第二题求梯度grad=ux+uy+uz 意思是u分别对X,Y,Z求偏导.得到(Fx,Fy,Fz)=(2x+3,4y-2,6z)然后把点(1,1,2)代进去求出结果即可

函数u在一点的梯度是一个向量,它的方向是函数u在该点方向导数取得最大值时的方向,它的模等于方向导数的最大值.下面来说明梯度和切向量垂直,设曲线x=x(t),y=y(t),z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线(c为常数,u(x,y,z)=c表示等值面

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